Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519585

а) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных натуральных делителей (в число делителей числа n включается единица и само число n)?

б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных делителей?

Спрятать решение

Решение.

a) Например, число 60. Оно имеет ровно 12 делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Если число n можно разложить на простые множители: n=p_1 в степени левая круглая скобка альфа _1 правая круглая скобка умножить на p_2 в степени левая круглая скобка альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на p_k в степени левая круглая скобка альфа _k правая круглая скобка , то количество натуральных делителей числа n равно d левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _к правая круглая скобка . Число делителей числа n обычно обозначают \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка .

б) Пусть \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _к правая круглая скобка =14=2 умножить на 7. Тогда n может иметь ровно два простых делителя, тогда  альфа _1=1, альфа _2=6 , или ровно один простой делитель, тогда  альфа _1=13. Кроме того, исходное число делится на 2 и 7, поэтому второй случай невозможен и остается два варианта: n=2 в степени 1 умножить на 7 в степени 6 =235298 и n=2 в степени 6 умножить на 7 в степени 1 =448.

в) Пусть \sigma левая круглая скобка n правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс альфа _1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _2 правая круглая скобка умножить на … умножить на левая круглая скобка 1 плюс альфа _к правая круглая скобка =2014=2 умножить на 1007=2 умножить на 19 умножить на 53. Тогда, например, годится число n=2 умножить на 19 в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка умножить на 53 в степени левая круглая скобка 52 правая круглая скобка .

Действительно, оно кратно 2014 (так как делится на 2, 19 и 53) и имеет ровно  левая круглая скобка 1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 18 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 52 правая круглая скобка =2014 делителей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства