Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519675

а) Приведите пример натурального числа, произведение всех делителей которого оканчивается на 6 нулей.

б) Может ли произведение всех делителей числа, оканчивающегося ровно на три нуля, оканчиваться на нечетное число нулей?

в) Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 333 нуля. На сколько нулей может оканчиваться число N?

Спрятать решение

Решение.

a) Искомое число обязательно делится на 2 и 5, поэтому будем искать его в виде  2 в степени a умножить на 5. Тогда его делители имеют вид 2 в степени x умножить на 5 в степени y , где y=0;1,x= 0;1;...;a. Следовательно, их произведение равно  левая круглая скобка 2 в степени 0 умножить на 2 в степени 1 ... умножить на 2 в степени a правая круглая скобка в квадрате умножить на левая круглая скобка 5 в степени 0 умножить на 5 в степени 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка умножить на 10 в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка . Значит, у этого числа в конце a плюс 1 ноль. a плюс 1=6, откуда a=5 и  2 в степени a умножить на 5=160.

б) Искомое число X имеет вид X=2 в кубе умножить на 5 в степени a умножить на B или X=2 в степени a умножить на 5 в кубе умножить на B, где  левая круглая скобка a больше или равно 3, НОД левая круглая скобка B,10 правая круглая скобка =1 правая круглая скобка . Рассмотрим первый случай (второй аналогичен), обозначим через Y число 5 в степени a умножить на B. Назовем произведение всех делителей числа Y буквой M, а число делителей числа Y буквой N. Тогда произведение всех делителей числа Х есть 2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка умножить на M умножить на 2 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка умножить на M умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2N правая круглая скобка умножить на M умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3N правая круглая скобка умножить на M, то есть 2 в степени левая круглая скобка 6N правая круглая скобка умножить на M в степени 4 . В разложении на простые множители этого числа четное количество двоек и пятерок, значит, и количество нулей четно.

в) Пусть искомое число X имеет вид 2 в степени a умножить на 5 в степени b умножить на B, где b больше или равно a, НОД левая круглая скобка B, 10 правая круглая скобка =1 (случай a больше или равно b аналогичен). Требуется найти a. Пусть Y=5 в степени b умножить на B, произведение всех делителей числа Y обозначим через M, число делителей числа Y обозначим через N. Произведение всех делителей числа X есть 2 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка умножить на M умножить на 2 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка умножить на M умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2N правая круглая скобка умножить на M умножить на ... умножить на 2 в степени левая круглая скобка aN правая круглая скобка умножить на M=2 в степени левая круглая скобка a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка N:2 правая круглая скобка умножить на M в степени левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка . Заметим, что степень множителя 5 в числе M не меньше aN:2 (поскольку по аналогичным соображениям она равно  левая круглая скобка b левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка :2 правая круглая скобка умножить на K =bN:2, т. к.  левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка K=N (через K обозначено число делителей числа B)). Поэтому число нулей в произведении всех делителей числа Х есть a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка N:2. Отсюда получаем, что a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка N=666, a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка N=2 умножить на 3 умножить на 3 умножить на 37, то есть a=1 или a=2. Оба случая возможны.

Пример для a=1: X=2 умножить на 5 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 7 в степени левая круглая скобка 36 правая круглая скобка .

Пример для a=2: X=2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 3 в степени левая круглая скобка 36 правая круглая скобка .

 

Ответ: а) Например, 160; б) нет; в) 1 или 2 нуля.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в4
Приведён верный пример в пункте а и обоснованно получен верные ответ в пункте в

ИЛИ

обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в

3
Приведён верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте в

2
Приведён верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства