Найдите все значения a, при каждом из которых для любой пары 
действительных чисел u и 
выполнено неравенство
Пусть
Имеем:
При фиксированных 
и a рассмотрим левую часть как функцию от x:
В зависимости от того, как располагается x относительно точек 
и 
модули раскроются по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция f(x) будет линейной с угловым коэффициентом 
Какова бы ни была комбинация знаков, 
Следовательно, f(x) монотонно возрастает. Поэтому неравенство 
выполняется при всех 
если и только если 
При малых 
то есть меньших, чем наименьшее из чисел 
и 
функция 
— возрастающая линейная с угловым коэффициентом 
При больших 
то есть больших, чем максимум из тех же чисел,
— убывающая линейная функция с угловым коэффициентом 
(см. рис.). Поэтому функция 
принимает наибольшее значение в одной из точек 
или 
Неравенство 
выполняется при всех тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем:
Ответ: 
Второе условие в последней системе лишнее. Функция g(v) определена для всех действительных v и имеет единственную точку максимума v=2a-1, так как при любом раскрытии второго модуля только коэффициент первого влияет на возрастание и убывание.
И только в ней g(x) имеет наибольшее значение.
Согласны. Иногда проще посчитать, чем объяснять, почему можно не считать.