Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 519639

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

 дробь: числитель: a минус (a в квадрате минус 2a) косинус 2x плюс 2, знаменатель: 3 минус косинус 4x плюс a в квадрате конец дроби меньше 1

содержит отрезок  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .
Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

a минус (a в квадрате минус 2a) косинус 2x плюс 2 меньше 3 минус косинус 4x плюс a в квадрате равносильно

 равносильно a минус (a в квадрате минус 2a) косинус 2x плюс 2 меньше 3 минус 2 косинус в квадрате 2x плюс 1 плюс a в квадрате .

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка , удвоенный аргумент должен содержать отрезок  левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка , а косинус двойного угла должен принимать все значения  минус 1 меньше или равно косинус 2x меньше или равно 1 (см. рис.).

 

Пусть  косинус 2x=t, тогда неравенство принимает вид

a минус (a в квадрате минус 2a)t плюс 2 меньше 3 минус 2t в квадрате плюс 1 плюс a в квадрате равносильно 2t в квадрате минус (a в квадрате минус 2a)t минус a в квадрате плюс a минус 2 меньше 0.

Рассмотрим функцию f(t)=2t в квадрате минус (a в квадрате минус 2a)t минус a в квадрате плюс a минус 2.

Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок [ минус 1; 1] необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f( минус 1) меньше 0 и f(1) меньше 0.

 система выражений f( минус 1) меньше 0,f(1) меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 2 плюс a в квадрате минус 2a минус a в квадрате плюс a минус 2 меньше 0,2 минус a в квадрате плюс 2a минус a в квадрате плюс a минус 2 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений a больше 0,2a в квадрате минус 3a больше 0 конец системы . равносильно система выражений a больше 0, совокупность выражений a меньше 0,a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 507235: 515748 519639 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.