Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 507235

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

 дробь: числитель: a минус (a в квадрате минус 2a минус 3) синус x плюс 4, знаменатель: 1,5 плюс 0,5 косинус 2x плюс a в квадрате конец дроби меньше 1

содержит отрезок  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

a минус (a в квадрате минус 2a минус 3) синус x плюс 4 меньше 0,5(1 минус 2 синус в квадрате x) плюс a в квадрате плюс 1,5.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка синус должен принимать все значения 0 меньше или равно синус x меньше или равно 1 (см. рис.)

Пусть  синус x=t, тогда неравенство принимает вид

a минус (a в квадрате минус 2a минус 3)t плюс 4 меньше 0,5(1 минус 2t в квадрате ) плюс a в квадрате плюс 1,5 равносильно

 равносильно t в квадрате минус (a в квадрате минус 2a минус 3)t минус a в квадрате плюс a плюс 2 меньше 0

Рассмотрим функцию f(t)=t в квадрате минус (a в квадрате минус 2a минус 3)t минус a в квадрате плюс a плюс 2 Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок [0;1] необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) меньше 0 и f(1) меньше 0

 система выражений f(0) меньше 0,f(1) меньше 0 конец системы . равносильно система выражений минус a в квадрате плюс a плюс 2 меньше 0, минус 2a в квадрате плюс 3a плюс 6 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a меньше минус 1,a больше 2, конец системы . совокупность выражений a меньше дробь: числитель: 3 минус корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби , a больше дробь: числитель: 3 плюс корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений a меньше дробь: числитель: 3 минус корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби , a больше дробь: числитель: 3 плюс корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

 

 

Ответ: a меньше дробь: числитель: 3 минус корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби ;a больше дробь: числитель: 3 плюс корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке 2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507235: 515748 519639 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015