Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 515748

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

 дробь: числитель: a минус (a в квадрате минус 2a минус 3) косинус x плюс 4, знаменатель: синус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше 1

содержит отрезок  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .
Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при любых значениях переменной x и параметра a знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

a минус (a в квадрате минус 2a минус 3) косинус x плюс 4 меньше синус в квадрате x плюс a в квадрате плюс 1     (1)

 

 

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка косинус должен принимать значения 0 меньше или равно косинус x меньше или равно 1 (см. рис.)

Пусть  косинус x=t, тогда  синус в квадрате x=1 минус t в квадрате и неравенство принимает вид

a минус (a в квадрате минус 2a минус 3)t плюс 4 меньше 1 минус t в квадрате плюс a в квадрате плюс 1    (2)

t в квадрате минус (a в квадрате минус 2a минус 3)t минус a в квадрате плюс a плюс 2 меньше 0   (3)

 

 

 

Введём функцию f(t)=t в квадрате минус (a в квадрате минус 2a минус 3)t минус a в квадрате плюс a плюс 2

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок [0;1] необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия f(0) меньше 0 и f(1) меньше 0

 система выражений f(0) меньше 0,f(1) меньше 0 конец системы . равносильно система выражений минус a в квадрате плюс a плюс 2 меньше 0, минус 2a в квадрате плюс 3a плюс 6 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a меньше минус 1,a больше 2, конец системы . совокупность выражений a меньше дробь: числитель: 3 минус корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби , a больше дробь: числитель: 3 плюс корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений a меньше дробь: числитель: 3 минус корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби , a больше дробь: числитель: 3 плюс корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

 

 

Ответ: a меньше дробь: числитель: 3 минус корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби ;a больше дробь: числитель: 3 плюс корень из (57) , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 507235: 515748 519639 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 6. (Часть C).