ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 519643 Добавить в вариант

Решите неравенство $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x.$

Спрятать решение

Решение.

Перенесем выражение из правой части в левую и сгруппируем:

$левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате минус 18 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 45 меньше 0.$ $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате минус 18 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 45 меньше 0.$

Пусть $t= логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x,$ тогда:

$t в квадрате минус 18t плюс 45 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 15 правая круглая скобка меньше 0 равносильно 3 меньше t меньше 15.$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше 3, логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше 15 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 больше 0, логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 15 меньше 0. конец системы .$

Пусть $y= логарифм по основанию 2 x,$ тогда:

$система выражений y в квадрате минус 2y минус 3 больше 0,y в квадрате минус 2y минус 15 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y меньше минус 1,y больше 3, конец системы . минус 3 меньше y меньше 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 3 меньше y меньше минус 1,3 меньше y меньше 5. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус 3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 5 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,8 меньше x меньше 32. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая круглая скобка .$

Примечание.

Из неравенства $левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 15 правая круглая скобка меньше 0$ можно было бы перейти к неравенству

$левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда имеем:

$левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.$

Изобразим решения полученного неравенство относительно логарифма:

Далее как ранее.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 514371: 519643 658836 658886 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь