На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли.
а) Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Заметим, что стирают те числа, которые исходно были единицами. Пусть изначально на доске были написаны n единиц и 
других чисел.
а) Да, могло быть. Заметим, что сумма этих других чисел равна 
Тогда получим неравенство: 
Годится, например, 
Тогда подходят такие числа: 25 единиц и числа 35, 36, 37, 38, 39.
б) Нет, не могло. Теперь сумма всех чисел равна 810. Аналогично решению пункта а) получим двойное неравенство: 
Отсюда получаем систему двух неравенств: 
и 
Тогда 
и одновременно 
Эта система не имеет решений.
в) Пусть M — среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске. Тогда
Ясно, что M максимально, если n максимально. Вспомним, что исходные числа не превосходят 40. Значит. 
откуда 
Таким образом, пример из пункта а) дает максимально возможное значение среднего арифметического: 
Ответ: а) да; б) нет; в) 18,5.