Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519671

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифра,вторая и предпоследняя, и т. д.). Например числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37-е по порядку число-палиндром, которое делится на 15.

Спрятать решение

Решение.

а) Пример числа-палиндрома: 5115=15 умножить на 341.

 

б) Пятизначное число-палиндром, кратное 15, обязательно делится на 5, и поэтому имеет вид 5xyx5. Будем теперь для каждого возможного x подбирать y так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Если x=1,4,7, то y=0,3,6,9 (т. е. получается 3 умножить на 4=12 вариантов), если x=2,5,8, то y=1, 4,7 (т. е. получается 3 умножить на 3=9 вариантов), если x=0, 3,6,9, то y=2,5,8 (т. е. получается 4 умножить на 3=12 вариантов). Всего 12 плюс 9 плюс 12=33 варианта.

 

в)  Двузначных палиндромов, делящихся на 15, нет. Трехзначные обязаны заканчиваться (а значит и начинаться) на 5, их всего три штуки (525, 555, 585). Четырехзначных аналогично еще три: 5115, 5445, 5775.

Значит всего не более чем пятизначных палиндромов 3 плюс 3 плюс 33=39 штук, при этом 39-е число это 59895 (выбираем максимально возможную вторую цифру), 38-е 59595, 37-е 59295.

 

Ответ: а) 5115; б) 33; в) 59295.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства