Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.
Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле 
где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность. Таким образом,
б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Треугольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому 
Из равенство 
находим, что 
тогда 
Найдем CH по теореме Пифагора, получим, что 
Тогда
откуда получаем:
Ответ: б)