Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519687

а) Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б) Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в) Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что 135= левая круглая скобка 1 плюс 3 плюс 5 правая круглая скобка умножить на 15, поэтому годится, например, число 135.

 

б) Заметим, что 378= левая круглая скобка 3 плюс 7 плюс 8 правая круглая скобка умножить на 21, поэтому годится, например, число 378.

 

в) Обозначим сумму цифр числа n за S левая круглая скобка n правая круглая скобка . Получим уравнение: n=S левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 15873 или n=S левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 3 умножить на 11 умножить на 13 умножить на 37. Заметим, что n делится на 3, значит, и S левая круглая скобка n правая круглая скобка делится на 3 по признаку делимости. Таким образом, n делится на 9, значит, по признаку делимости, S левая круглая скобка n правая круглая скобка =9x, x принадлежит N . При x=1 и x=2 получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если x=3, то S левая круглая скобка n правая круглая скобка =27 и n=428571. При x=4,5,6,7 получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если x=8, то S левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 15873=1142856 — семизначное число, однако сумма цифр семизначного числа не может быть равна 9x=72, то есть верно неравенство n больше S левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 15873. Посмотрим, что происходит при увеличении x на единицу. Сумма цифр увеличивается на 9, то есть количество разрядов числа n увеличивается хотя бы на 1. А S левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 15873 увеличивается на 142857, то есть не может увеличиться больше чем на разряд. Таким образом, если при каком-то x выполняется неравенство n больше S левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на 15873, то и при увеличении x это неравенство останется справедливым.

Значит, единственным решением будет число 428571.

 

Ответ: а) 135; б) да; 378; в) 428571.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;

— оба набора задуманных чисел в п. в

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства