PDF-версии: 
Точка Е — середина стороны BС квадрата АВСD. Серединные перпендикуляры к отрезкам АЕ и ЕС пересекаются в точке O.
а) Докажите, что 
б) Найдите BO : OD.
Решение. а) Точка О является центром окружности, описанной около треугольника АЕС, поэтому
б) Прямая ВD является серединным перпендикуляром к отрезку АС, поэтому точка О лежит на этой прямой. Пусть точка М — середина отрезка ЕС. По теореме Фалеса параллельные прямые MO и CD отсекают на сторонах угла CBD пропорциональные отрезки, поэтому
Ответ: б) 3 : 1.
Примечание.
Пункт а) может быть решен при помощи поворота.
Приведем решение пункта а) Артема Калмыкова (Уфа).
Треугольник AOE — равнобедренный, так как отрезок OH является одновременно и высотой, и медианой. Тогда 
Аналогично треугольник EOC — равнобедренный, в нем 
поэтому 
Треугольники AOD и COD равны по трем сторонам, поэтому 
а значит, точка O лежит на диагонали BD.
Пусть 
тогда 
Углы COM и DCO равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых OM и DC секущей OC. Луч OM — биссектриса угла EOC, поэтому 
Находим:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |