РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 521203 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 188

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка 3 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 синус x правая круглая скобка 3= минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 9 синус в квадрате x правая круглая скобка 3.$

б)  Найдите корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Решим уравнение

$логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка 3 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 синус x правая круглая скобка 3= минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 9 синус в квадрате x правая круглая скобка 3 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 синус x конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 3 синус x конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 3 синус в квадрате x конец дроби равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 синус x конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 3 синус x конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 синус x правая круглая скобка конец дроби .$

Сделаем замену $t= логарифм по основанию 3 синус x,$ тогда уравнение примет вид

$дробь: числитель: 1, знаменатель: t левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 1 плюс 2t, знаменатель: t левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Вернёмся к исходной перtменной

$логарифм по основанию 3 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 3 равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс Пи n;n принадлежит Z равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс 2 Пи n,x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . n принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 3 равносильно$
$равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс Пи n;n принадлежит Z равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс 2 Пи n,x= Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . n принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Длина данного отрезка меньше $2 Пи ,$ поэтому из каждой серии корней в данный отрезок попадает не более одного корня. Данный отрезок на тригонометрической окружности попадает во вторую, третью и часть четвертой четверти. Первая серия корней соответствует точке в первой четверти, поэтому на данном отрезке корней не имеет. Вторая серия корней соответствует точке во второй четверти поэтому на данном отрезке даёт один корень. Это $минус Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус { дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс Пи n;n принадлежит Z; минус Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

521203

$левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус { дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс Пи n;n принадлежит Z; минус Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 188

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521203	$левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус { дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби плюс Пи n;n принадлежит Z; минус Пи минус арксинус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .$