№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 16 № 525120

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.

Решение.

a) По условию, четырёхугольник PBCQ вписанный. Значит, Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, . Для смежных углов справедливо равенство а значит, В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Пусть (эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых). В пункте а) было показано, что это означает, что и, следовательно, точки A, D, P и Q тоже лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, и . Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, так как по условию DP и PC перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике AQB точка M − середина гипотенузы. Следовательно, С другой стороны, средняя линия трапеции Значит, треугольник NMQ равнобедренный и в нём Осталось найти косинус угла CDA.

Для этого на отрезке AD отметим точку E, так что тогда Для треугольника CDE запишем теорему косинусов: откуда выразим косинус угла CDE:

 

 

Итак,

 

 

Приведем другое решение пункта б):

 

Заметим, что раз треугольник PDC — прямоугольный, то PN = CN = ND = 10, — средняя линия трапеции ABCD. Зная боковые стороны и основания трапеции, нетрудно найти ее высоту из треугольника CED со сторонами 21, 20 и 13: Отсюда найдем Теперь, так как по теореме синусов для треугольника MPN, можем найти радиус окружности, описанной около MPQN:

Так как найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный:

 

 

Ответ: б)