Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.
а) По условию четырёхугольник PBCQ — вписанный. Значит, 
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда 
как односторонние углы при пересечении параллельных прямых секущей. Следовательно, 
Для смежных углов справедливо равенство 
а потому 
В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.
б) Пусть 
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. В пункте а) было показано, что 
это означает, что 
и, следовательно, точки A, D, P и Q также лежат на одной окружности.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, 
и 
Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, 
поскольку по условию отрезки DP и PC перпендикулярны.
В прямоугольном треугольнике AQB точка M — середина гипотенузы. Следовательно,
С другой стороны, средняя линия трапеции
Значит, треугольник NMQ — равнобедренный и в нём 
Осталось найти косинус угла CDA. Для этого на отрезке AD отметим точку E такую, что 
Тогда 
Для треугольника CDE запишем теорему косинусов:
откуда выразим косинус угла CDE:
Итак,
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Заметим, что раз треугольник PDC — прямоугольный, то
где прямая MN — средняя линия трапеции ABCD. Зная боковые стороны и основания трапеции, нетрудно найти ее высоту из треугольника CED со сторонами 21, 20 и 13: 
Отсюда найдем
Теперь, так как 
по теореме синусов для треугольника MPN можем найти радиус окружности, описанной около четырехугольника MPQN:
Так как 
найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:
Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, следовательно:
