СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525120

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки B и С, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q (от­лич­ных от кон­цов от­рез­ков).

а) До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б) Най­ди­те QN, если от­рез­ки DP и PC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.

Ре­ше­ние.

a) По усло­вию, четырёхуголь­ник PBCQ впи­сан­ный. Зна­чит, От­ре­зок MN — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, она па­рал­лель­на ос­но­ва­нию BC, а тогда как од­но­сто­рон­ние углы при па­рал­лель­ных пря­мых. Сле­до­ва­тель­но, . Для смеж­ных углов спра­вед­ли­во ра­вен­ство а зна­чит, В четырёхуголь­ни­ке MPQN сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му во­круг него можно опи­сать окруж­ность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) Пусть (эти углы равны как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых). В пунк­те а) было по­ка­за­но, что это озна­ча­ет, что и, сле­до­ва­тель­но, точки A, D, P и Q тоже лежат на одной окруж­но­сти.

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу окруж­но­сти, равны. Сле­до­ва­тель­но, и . Зна­чит, тре­уголь­ни­ки DPC и AQB по­доб­ны по двум углам. Сле­до­ва­тель­но, так как по усло­вию DP и PC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AQB точка M − се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы. Сле­до­ва­тель­но, С дру­гой сто­ро­ны, сред­няя линия тра­пе­ции Зна­чит, тре­уголь­ник NMQ рав­но­бед­рен­ный и в нём Оста­лось найти ко­си­нус угла CDA.

Для этого на от­рез­ке AD от­ме­тим точку E, так что тогда Для тре­уголь­ни­ка CDE за­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов: от­ку­да вы­ра­зим ко­си­нус угла CDE:

 

 

Итак,

 

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б):

 

За­ме­тим, что раз тре­уголь­ник PDC — пря­мо­уголь­ный, то PN = CN = ND = 10, — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD. Зная бо­ко­вые сто­ро­ны и ос­но­ва­ния тра­пе­ции, не­труд­но найти ее вы­со­ту из тре­уголь­ни­ка CED со сто­ро­на­ми 21, 20 и 13: От­сю­да най­дем Те­перь, так как по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MPN, можем найти ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около MPQN:

Так как най­дем MQ по тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MQN:

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник MQN — рав­но­бед­рен­ный:

 

 

Ответ: б)

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Ва­ри­ант 1, За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника