Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525120

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.

Решение.

a) По условию, четырёхугольник PBCQ вписанный. Значит, \angle BCQ плюс \angle BPQ =180 в степени circ. Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда \angle BCQ плюс \angle QNM =180 в степени circ как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, \angle BPQ =\angle QNM. Для смежных углов справедливо равенство \angle BPQ плюс \angle MPQ=180 в степени circ, а значит, \angle QNM плюс \angle MPQ=180 в степени circ. В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Пусть \angle QNM = \angle QDA=\alpha (эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых). В пункте а) было показано, что \angle QNM плюс \angle MPQ=180 в степени circ, это означает, что \angle QDA плюс \angle MPQ=180 в степени circ, и, следовательно, точки A, D, P и Q тоже лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, \angle PBQ = \angle PCQ и \angle PAQ = \angle PDQ . Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, \angle AQB = \angle DPC = 90 в степени circ, так как по условию DP и PC перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике AQB точка M − середина гипотенузы. Следовательно, MQ= AM=MB= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 =10,5. С другой стороны, средняя линия трапеции MN = дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 4 плюс 17, знаменатель — 2 =10,5. Значит, треугольник NMQ равнобедренный и в нём QN= 2 умножить на MN умножить на косинус \alpha = 21 косинус \alpha. Осталось найти косинус угла CDA.

Для этого на отрезке AD отметим точку E, так что AE=BC=4, тогда DE=13, CE=21. Для треугольника CDE запишем теорему косинусов: CE в степени 2 =DE в степени 2 плюс CD в степени 2 минус 2DE умножить на CD умножить на косинус \alpha, откуда выразим косинус угла CDE:

 

 косинус \alpha = дробь, числитель — DE в степени 2 плюс CD в степени 2 минус CE в степени 2 , знаменатель — 2DE умножить на CD = дробь, числитель — 13 в степени 2 плюс 20 в степени 2 минус 21 в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на 13 умножить на 20 = дробь, числитель — 16, знаменатель — 65 .

 

Итак,

QN=21 косинус \alpha=21 умножить на дробь, числитель — 16, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 336, знаменатель — 65 .

 

 

Приведем другое решение пункта б):

 

Заметим, что раз треугольник PDC — прямоугольный, то PN = CN = ND = 10, MN= дробь, числитель — 17 плюс 4, знаменатель — 2 =10,5 — средняя линия трапеции ABCD. Зная боковые стороны и основания трапеции, нетрудно найти ее высоту из треугольника CED со сторонами 21, 20 и 13: h= дробь, числитель — 252, знаменатель — 13 . Отсюда найдем  синус \angle BAD= дробь, числитель — дробь, числитель — 252, знаменатель — 13 , знаменатель — { 21}= дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 ,  синус \angle CDA= дробь, числитель — дробь, числитель — 252, знаменатель — 13 , знаменатель — { 20}= дробь, числитель — 63, знаменатель — 65 . Теперь, так как \angle{PMN}=\angle{BAD}, по теореме синусов для треугольника MPN, можем найти радиус окружности, описанной около MPQN:

R= дробь, числитель — PN, знаменатель — 2 синус \angle{PMN }= дробь, числитель — 10, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 12 {13, знаменатель — } = дробь, числитель — 65, знаменатель — 12 .

Так как \angle{QNM=\angle{CDA}}, найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

MQ=2R синус \angle{QNM}=2 умножить на дробь, числитель — 65, знаменатель — 12 умножить на дробь, числитель — 63, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 .

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный:

QN=2 умножить на MN умножить на косинус \angle{MNQ}=2 умножить на дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 умножить на корень из { 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 63, знаменатель — 65 правая круглая скобка в степени 2 }=

 

=21 умножить на дробь, числитель — корень из { 65 в степени 2 минус 63 в степени 2 }, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 65 корень из { 2 умножить на 128}= дробь, числитель — 21 умножить на 16, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 336, знаменатель — 65 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 336, знаменатель — 65 .

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника