Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Задания

Тип 18 № 529584 Добавить в вариант

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель  — натуральное число.

а)  Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б)  Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в)  Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Решение. а)  Требуемое представление: $1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

б)  Пусть $1= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби ,$ причем $1 меньше x меньше y.$ Тогда $дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше 1,$ противоречие. Если же $x=1,$ то $1= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби$ и подобрать нужное y все равно нельзя.

в)  Очевидно, любая конечная сумма таких дробей рациональна. Докажем, что любое рациональное число можно записать в таком виде. Будем выбирать наибольшую дробь вида $дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби ,$ не большую имеющегося в данный момент числа. Тогда $дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: n минус 1 конец дроби ,$ то есть $nx минус x меньше y.$ Тогда $дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: xn минус y, знаменатель: yn конец дроби меньше дробь: числитель: x, знаменатель: yn конец дроби ,$ то есть с каждым вычитанием соответствующей дроби числитель оставшейся дроби уменьшается. Рано или поздно он станет равен 0, в этот момент сумма всех вычтенных чисел будет равна исходному числу.

Ответ: a) $1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;$ б) нет в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

529584

a) $1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;$ б) нет в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	529584	a) $1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ;$ б) нет в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.