Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 529584

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель — натуральное число.

а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Спрятать решение

Решение.

а) Требуемое представление: 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

б) Пусть 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби , причем 1 меньше x меньше y. Тогда  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше 1, противоречие. Если же x=1, то 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби и подобрать нужное y все равно нельзя.

в) Очевидно, любая конечная сумма таких дробей рациональна. Докажем, что любое рациональное число можно записать в таком виде. Будем выбирать наибольшую дробь вида  дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби , не большую имеющегося в данный момент числа. Тогда  дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: n минус 1 конец дроби , то есть nx минус x меньше y. Тогда  дробь: числитель: x, знаменатель: y конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: xn минус y, знаменатель: yn конец дроби меньше дробь: числитель: x, знаменатель: yn конец дроби , то есть с каждым вычитанием соответствующей дроби числитель оставшейся дроби уменьшается. Рано или поздно он станет равен 0, в этот момент сумма всех вычтенных чисел будет равна исходному числу.

 

Ответ: a) 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби ; б) нет в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства