Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 529584

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель — натуральное число.

а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Решение.

а) Требуемое представление: 1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 .

б) Пусть 1= дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — y , причем 1 меньше x меньше y. Тогда  дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — y меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 меньше 1, противоречие. Если же x=1, то 1= дробь, числитель — 1, знаменатель — x и подобрать нужное y все равно нельзя.

в) Очевидно, любая конечная сумма таких дробей рациональна. Докажем, что любое рациональное число можно записать в таком виде. Будем выбирать наибольшую дробь вида  дробь, числитель — 1, знаменатель — n , не большую имеющегося в данный момент числа. Тогда  дробь, числитель — x, знаменатель — y меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — n минус 1 , то есть nx минус x меньше y. Тогда  дробь, числитель — x, знаменатель — y минус дробь, числитель — 1, знаменатель — n = дробь, числитель — xn минус y, знаменатель — yn меньше дробь, числитель — x, знаменатель — yn , то есть с каждым вычитанием соответствующей дроби числитель оставшейся дроби уменьшается. Рано или поздно он станет равен 0, в этот момент сумма всех вычтенных чисел будет равна исходному числу.

 

Ответ: a) 1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 ; б) нет в) любое положительное рациональное число, меньшее 1.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.