а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 1, бо­ко­вое ребро равно 2. Плос­кость се­че­ния про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер AD и CC₁ па­рал­лель­но диа­го­на­ли B₁D.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 5, счи­тая от точки B₁.

б)   Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся сто­рон AB и AC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Пря­мая BO пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка CON вто­рич­но в точке P.

а)   До­ка­жи­те, что точка P лежит на пря­мой MN.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABP, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 24.

Алек­сандр Сер­ге­е­вич взял ипо­теч­ный кре­дит сум­мой 2 млн. руб. на 20 лет. Усло­вия вы­пла­ты кре­ди­та та­ко­вы:

  — в на­ча­ле каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10%,

  — после на­чис­ле­ния про­цен­тов вы­пла­чи­ва­ет­ся не­ко­то­рая часть долга,

  — после вы­пла­ты долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше, чем в ана­ло­гич­ном пе­ри­о­де про­шло­го года.

После 8‐й вы­пла­ты Алек­сан­дру Сер­ге­е­ви­чу уда­лось про­из­ве­сти ре­струк­ту­ри­за­цию кре­ди­та, в ре­зуль­та­те чего про­цент, на­чис­ля­е­мый в по­сле­ду­ю­щие годы, умень­шил­ся до 8%. Какую сумму сэко­но­мил Алек­сандр Сер­ге­е­вич?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Будем на­зы­вать дробь «про­стой», если её чис­ли­тель равен 1, а зна­ме­на­тель  — на­ту­раль­ное число.

а)  За­пи­ши­те число 1 в виде суммы трёх раз­лич­ных про­стых дро­бей.

б)  Можно ли за­пи­сать число 1 в виде суммы двух раз­лич­ных про­стых дро­бей?

в)  Какие дей­стви­тель­ные числа, мень­шие 1, можно за­пи­сать в виде суммы не­ко­то­ро­го числа раз­лич­ных про­стых дро­бей?