Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 529581

Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Прямая BO пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке P.

а) Докажите, что точка P лежит на прямой MN.

б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 24.

Решение.

а) Заметим, что угол ONC равен 90°. Тогда OC — диаметр описанной окружности треугольника ONC. Продлим BO до пересечения с MN в точке K. Докажем, что угол BKC равен 90°, тогда точка K будет лежать на окружности с диаметром OC, а, значит, совпадёт с точкой P. Пусть \angle B=2\beta, \angle A=2\alpha. Тогда \angle AMN=90 в степени circ минус \alpha, т. к. треугольник AMN — равнобедренный. Тогда:

 

\angle BKM=\angle AMN минус \angle MBK=90 в степени circ минус \alpha минус \beta,

\angle ACB=180 в степени circ минус 2\alpha минус 2\beta,

\angle OCN=90 в степени circ минус \alpha минус \beta,

\angle OKN плюс \angle OCN=180 в степени circ.

 

Точка K лежит на окружности с диаметром OC, значит, \angle OKC=90 в степени circ, а точка K совпадает с точкой P.

б) Продлим CP до пересечения с AB в точке L. Тогда в треугольнике LBC BP является биссектрисой и высотой, следовательно, точка P — середина LC. Пусть h1 — перпендикуляр, опущенный из C на AB, а h2 — перпендикуляр, опущенный из P на AB. Тогда h_1=2h_2. Теперь найдём площадь треугольника ABP:

 

S_{ABP}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на h_2= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AB умножить на h_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 24=12.

 

Ответ: б) 12.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.