Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 529580

Решите неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка \geqslant1.

Спрятать решение

Решение.

В зависимости от величины основания логарифма неравенство расщепляется на две системы:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка \geqslant1 равносильно совокупность выражений система выражений 0 меньше 2x плюс 4 меньше 1,0 меньше x в квадрате минус 3x плюс 10 меньше или равно 2x плюс 4, конец системы . система выражений 2x плюс 4 больше 1,x в квадрате минус 3x плюс 10\geqslant2x плюс 4. конец системы . конец совокупности .

Решим первую систему совокупности:

 система выражений 0 меньше 2x плюс 4 меньше 1,0 меньше x в квадрате минус 3x плюс 10 меньше или равно 2x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений минус 4 меньше 2x меньше минус 3,x в квадрате минус 3x плюс 10 больше 0,x в квадрате минус 5x плюс 6\leqslant0 конец системы . равносильно система выражений минус 2 меньше x меньше минус 1,5, левая круглая скобка x минус 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 7,75 больше 0,2 меньше или равно x\leqslant3 конец системы .

полученная система не имеет решений.

Значит, решение исходного неравенства совпадает с решением второй системы совокупности. Решим её:

 система выражений 2x плюс 4 больше 1,x в квадрате минус 3x плюс 10\geqslant2x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений 2x больше минус 3,x в квадрате минус 5x плюс 6\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x больше минус 1,5, совокупность выражений x\leqslant2,x\geqslant3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 1,5 меньше x\leqslant2,x\geqslant3. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка минус 1,5;2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка

 

Приведём другое решение.

Перейдём к десятичным логарифмам и используем метод рационализации:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка \geqslant1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: \lg левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка минус \lg левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: \lg левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно

 равносильно система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 3x плюс 10 минус левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 4 минус 1 конец дроби \geqslant0,x в квадрате минус 3x плюс 10 больше 0,2x плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 5x плюс 6, знаменатель: 2x плюс 3 конец дроби \geqslant0, левая круглая скобка x минус 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 7,75 больше 0,x больше минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 1,5 меньше x\leqslant2,x\geqslant3. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка минус 1,5;2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка

 

Изложим вторую идею иначе.

Запишем неравенство  логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка \geqslant1 в виде

 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 10 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0

и воспользуемся тем, что знак разности  логарифм по основанию a b минус логарифм по основанию a c на ОДЗ совпадает со знаком дроби  дробь: числитель: b минус c, знаменатель: a минус 1 конец дроби . Поэтому исходное неравенство равносильно системе

 система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 3x плюс 10 минус левая круглая скобка 2x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2x плюс 4 минус 1 конец дроби \geqslant0,x в квадрате минус 3x плюс 10 больше 0,2x плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 5x плюс 6, знаменатель: 2x плюс 3 конец дроби \geqslant0, левая круглая скобка x минус 1,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 7,75 больше 0,x больше минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 1,5 меньше x\leqslant2,x\geqslant3. конец совокупности .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства