Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 15 № 529580

Решите неравенство:  логарифм по основанию 2x плюс 4 (x в степени 2 минус 3x плюс 10)\ge1.

Решение.

В зависимости от величины основания логарифма неравенство расщепляется на две системы:

 

 логарифм по основанию 2x плюс 4 (x в степени 2 минус 3x плюс 10)\ge1 равносильно совокупность выражений система выражений 0 меньше 2x плюс 4 меньше 1,0 меньше x в степени 2 минус 3x плюс 10 меньше или равно 2x плюс 4, конец системы . система выражений 2x плюс 4 больше 1,x в степени 2 минус 3x плюс 10\ge2x плюс 4. конец системы . конец совокупности .

Решим первую систему совокупности:

 система выражений 0 меньше 2x плюс 4 меньше 1,0 меньше x в степени 2 минус 3x плюс 10 меньше или равно 2x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений минус 4 меньше 2x меньше минус 3,x в степени 2 минус 3x плюс 10 больше 0,x в степени 2 минус 5x плюс 6\le0 конец системы . равносильно система выражений минус 2 меньше x меньше минус 1,5,(x минус 1,5) в степени 2 плюс 7,75 больше 0,2 меньше или равно x\le3 конец системы .

полученная система не имеет решений.

Значит, решение исходного неравенства совпадает с решением второй системы совокупности. Решим её:

 система выражений 2x плюс 4 больше 1,x в степени 2 минус 3x плюс 10\ge2x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений 2x больше минус 3,x в степени 2 минус 5x плюс 6\ge0 конец системы . равносильно система выражений x больше минус 1,5, совокупность выражений x\le2,x\ge3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 1,5 меньше x\le2,x\ge3. конец совокупности .

Ответ: ( минус 1,5;2]\cup [3; плюс принадлежит fty)

 

Приведём другое решение.

Перейдём к десятичным логарифмам и используем метод рационализации:

 логарифм по основанию 2x плюс 4 (x в степени 2 минус 3x плюс 10)\ge1 равносильно дробь, числитель — \lg(x в степени 2 минус 3x плюс 10), знаменатель — \lg(2x плюс 4) \ge1 равносильно дробь, числитель — \lg(x в степени 2 минус 3x плюс 10) минус \lg(2x плюс 4), знаменатель — \lg(2x плюс 4) \ge0 равносильно

 равносильно система выражений дробь, числитель — x в степени 2 минус 3x плюс 10 минус (2x плюс 4), знаменатель — 2x плюс 4 минус 1 \ge0,x в степени 2 минус 3x плюс 10 больше 0,2x плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — x в степени 2 минус 5x плюс 6, знаменатель — 2x плюс 3 \ge0,(x минус 1,5) в степени 2 плюс 7,75 больше 0,x больше минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 1,5 меньше x\le2,x\ge3. конец совокупности .

Ответ: ( минус 1,5;2]\cup [3; плюс принадлежит fty)

 

Изложим вторую идею иначе.

Запишем неравенство  логарифм по основанию 2x плюс 4 (x в степени 2 минус 3x плюс 10)\ge1 в виде

 логарифм по основанию 2x плюс 4 (x в степени 2 минус 3x плюс 10) минус логарифм по основанию 2x плюс 4 (2x плюс 4) больше или равно 0

и воспользуемся тем, что знак разности  логарифм по основанию a b минус логарифм по основанию a c на ОДЗ совпадает со знаком дроби  дробь, числитель — b минус c, знаменатель — a минус 1 . Поэтому исходное неравенство равносильно системе

 система выражений дробь, числитель — x в степени 2 минус 3x плюс 10 минус (2x плюс 4), знаменатель — 2x плюс 4 минус 1 \ge0,x в степени 2 минус 3x плюс 10 больше 0,2x плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — x в степени 2 минус 5x плюс 6, знаменатель — 2x плюс 3 \ge0,(x минус 1,5) в степени 2 плюс 7,75 больше 0,x больше минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 1,5 меньше x\le2,x\ge3. конец совокупности .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.