Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 13 № 529578

а) Решите уравнение 4 косинус в степени 2 x плюс 2( корень из { 2} минус 1) синус левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка минус корень из { 2}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ;2 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

a) Применим формулу приведения, затем сгруппируем слагаемые:

4 косинус в степени 2 x плюс 2( корень из { 2} минус 1) синус левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка минус корень из { 2}=0 равносильно 4 косинус в степени 2 x минус 2 косинус x плюс 2 корень из { 2} косинус x минус корень из { 2}=0 равносильно

 равносильно 2 косинус x(2 косинус x минус 1) плюс корень из { 2}(2 косинус x минус 1)=0 равносильно (2 косинус x минус 1)(2 косинус x плюс корень из { 2})=0 равносильно

 равносильно совокупность выражений косинус x= минус дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 , косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k,x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Найдем:  дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 ,  дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 ,  дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 3 .

 

Ответ: а) \left \{\pm дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k, \pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \}; б)  дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 ,  дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 ,  дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.