Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 529579

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и CC1 параллельно диагонали B1D.

а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро BB1 в отношении 1 : 5, считая от точки B1.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.

Решение.

а) Построим указанное сечение (см. рис.). Пусть M — середина AD, N — середина CC1, L — точка пересечения диагоналей грани AA1B1B. Тогда ML — средняя линия треугольника AB1D, ML параллельна B1D1 и, следовательно, лежит в плоскости сечения. Прямая ML лежит в плоскости ADC1B1 и, следовательно, пересекает B1C1. Пусть K — точка пересечения ML и B1C1. Проведём прямую KN. Пусть P — точка пересечения KN и BC, а Q — точка пересечения KN и BB1. Проведем прямую MP. Пусть R — точка пересечения MP и CD, S — точка пересечения QL и AA1. Соединим теперь S и M, получим пятиугольник MRNQS — искомое сечение.

Из равенства треугольников AML и LKB1 имеем: KB_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AD. Треугольники KB1Q и KC1N подобны, причём

 дробь, числитель — B_1Q, знаменатель — C_1N = дробь, числитель — KB_1, знаменатель — KC_1 = дробь, числитель — \tfrac12AD, знаменатель — \tfrac32AD = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 ,

следовательно,

BQ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 CN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 CC_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 BB_1.

Таким образом,

 дробь, числитель — B_1Q, знаменатель — QB = дробь, числитель — \tfrac16BB_1, знаменатель — левая круглая скобка 1 минус \tfrac16 правая круглая скобка BB_1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 .

б) Из точек B и Q опустим перпендикуляры на прямую MR=(ABCD)\cap(MRNQS). По теореме о трёх перпендикулярах они попадут в одну точку H, тогда BHQ — искомый угол. Из п. а) BQ= дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 умножить на 2= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 . Треугольники KC1N и NCP равны, следовательно, CP= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 , BP= дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 . Треугольники CPR и MDR подобны, поэтому  дробь, числитель — CR, знаменатель — RD = дробь, числитель — \tfrac32, знаменатель — \tfrac12 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 1 , CR= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 , а значит,

RP= корень из { CP в степени 2 плюс CR в степени 2 }= корень из { левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 плюс левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 правая круглая скобка в степени 2 }= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 }= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 корень из { 5}.

Треугольники BHP и CPR подобны, поэтому  дробь, числитель — BH, знаменатель — CR = дробь, числитель — BP, знаменатель — RP . Тогда BH= дробь, числитель — дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 , знаменатель — дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 корень из { 5 } умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 = дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 2 , откуда  тангенс BHQ= дробь, числитель — \tfrac53, знаменатель — \tfrac{ корень из { 5 }{2}}= дробь, числитель — 2 корень из { 5}, знаменатель — 3 , то есть \angle BHQ=\arctg дробь, числитель — 2 корень из { 5}, знаменатель — 3 .

 

Ответ: б) \arctg дробь, числитель — 2 корень из { 5}, знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.