В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и CC1 параллельно диагонали B1D.
а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро BB1 в отношении 1 : 5, считая от точки B1.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.
а) Построим указанное сечение (см. рис.). Пусть M — середина AD, N — середина CC1, L — точка пересечения диагоналей грани AA1B1B. Тогда ML — средняя линия треугольника AB1D, ML параллельна B1D1 и, следовательно, лежит в плоскости сечения. Прямая ML лежит в плоскости ADC1B1 и, следовательно, пересекает B1C1. Пусть K — точка пересечения ML и B1C1. Проведём прямую KN. Пусть P — точка пересечения KN и BC, а Q — точка пересечения KN и BB1. Проведем прямую MP. Пусть R — точка пересечения MP и CD, S — точка пересечения QL и AA1. Соединим теперь S и M, получим пятиугольник MRNQS — искомое сечение.
Из равенства треугольников AML и LKB1 имеем: 
Треугольники KB1Q и KC1N подобны, причём
следовательно,
Таким образом,
б) Из точек B и Q опустим перпендикуляры на прямую 
По теореме о трёх перпендикулярах они попадут в одну точку H, тогда BHQ — искомый угол. Из п. а) 
Треугольники KC1N и NCP равны, следовательно, 
Треугольники CPR и MDR подобны, поэтому 
а значит,
Треугольники BHP и CPR подобны, поэтому 
Тогда 
откуда 
то есть 
Ответ: б) 
