Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 529583

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

4x плюс 7 минус 4 корень из { 4x минус x в степени 2 }=x в степени 2 плюс a в степени 2 плюс 2a

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Запишем уравнение в виде

4x минус x в степени 2 плюс 7 минус 4 корень из { 4x минус x в степени 2 }=a в степени 2 плюс 2a

и сделаем замены  корень из { 4x минус x в степени 2 }=t и a в степени 2 плюс 2a=b. Тогда уравнение примет вид

t в степени 2 минус 4t плюс 7=b.     (⁎)

Заметим, что 0 меньше или равно t= корень из { 4x минус x в степени 2 }= корень из { 4 минус 4 плюс 4x минус x в степени 2 }= корень из { 4 минус (2 минус x) в степени 2 } меньше или равно 2. Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если уравнение (⁎) имеет хотя бы одно решение на отрезке [0;2].

Построим график уравнения (⁎) на отрезке [0;2] в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (⁎) имеет корни на отрезке [0;2] при 3 меньше или равно b\le7. Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при 3 меньше или равно a в степени 2 плюс 2a\le7.

Решим это двойное неравенство:

3 меньше или равно a в степени 2 плюс 2a\le7 равносильно система выражений a в степени 2 плюс 2a\ge3,a в степени 2 плюс 2a\le7 конец системы . равносильно система выражений a в степени 2 плюс 2a минус 3\ge0,a в степени 2 плюс 2a минус 7\le0 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений совокупность выражений a\le минус 3,a\ge1, конец системы . минус 1 минус 2 корень из { 2} меньше или равно a меньше или равно минус 1 плюс 2 корень из { 2} конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 1 минус 2 корень из { 2} меньше или равно a меньше или равно минус 3,1 меньше или равно a меньше или равно минус 1 плюс 2 корень из { 2}. конец совокупности .

 

 

Изложим это решение иначе.

Пусть t= корень из { 4x минус x в степени 2 } (⁎), тогда исходное уравнение можно записать в виде t в степени 2 минус 4t плюс 7=a в степени 2 плюс 2a или

(t минус 2) в степени 2 =a в степени 2 плюс 2a минус 3    (⁎⁎).

Оценим левые части уравнений (⁎) и (⁎⁎).

В силу цепочки соотношений

t= корень из { 4x минус x в степени 2 } равносильно система выражений t в степени 2 =4x минус x в степени 2 ,t\ge0 конец системы . равносильно система выражений t в степени 2 плюс x в степени 2 минус 4x плюс 4=4,t\ge0 конец системы . равносильно система выражений (x минус 2) в степени 2 плюс t в степени 2 =2 в степени 2 ,t\ge0, конец системы .

графиком уравнения (⁎) является полуокружность с центром в точке O(2; 0) и радиусом 2. Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда 0 меньше или равно t меньше или равно 2 (см. рис.).

При найденных значениях t справедливы оценки

 минус 2 меньше или равно t минус 2 \le0 равносильно 0\le(t минус 2) в степени 2 \le4.

Чтобы уравнение (⁎⁎) имело решения его правая часть должна лежать в тех же границах:

0 меньше или равно a в степени 2 плюс 2a минус 3 меньше или равно 4 равносильно 4 меньше или равно (a плюс 1) в степени 2 меньше или равно 8,

откуда

4\le(a плюс 1) в степени 2 \le8 равносильно 2\le|a плюс 1|\le2 корень из { 2} равносильно совокупность выражений минус 2 корень из { 2} меньше или равно a плюс 1\le минус 2,2 меньше или равно a плюс 1\le2 корень из { 2} конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 2 корень из { 2} минус 1 меньше или равно a\le минус 3,1 меньше или равно a меньше или равно 2 корень из { 2} минус 1. конец совокупности .

 

Ответ: [ минус 1 минус 2 корень из { 2}; минус 3] \cup [1; минус 1 плюс 2 корень из { 2}].

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 290.