Ре­ше­ние. За­ме­тим сразу, что сумма чисел не ме­ня­ет­ся, а раз­ность умень­ша­ет­ся вдвое.

а)  Из чисел 1 и 17 по­лу­чат­ся по­сле­до­ва­тель­но 5 и 13, 7 и 11, 8 и 10. На этом игра оста­но­вит­ся.

б)  Если бы это было воз­мож­но, то раз­ность между на­чаль­ны­ми чис­ла­ми за эти не­сколь­ко ходов умень­ши­лась бы ми­ни­мум в 512 раз. Зна­чит, она стала бы равна 1, а из­на­чаль­но была 512. Тогда на пред­по­след­нем ходе раз­ность была равна 2. Од­на­ко из чисел x и x + 2 по­лу­ча­ют­ся числа x + 0,5 и x + 1,5, то есть не­це­лые.

в)  Пусть a < b. Сле­ду­ет найти мак­си­мум вы­ра­же­ния

Если умень­шить a и b на одно и то же число, то чис­ли­тель дроби не из­ме­нит­ся, а зна­ме­на­тель умень­шить­ся, сле­до­ва­тель­но, дробь уве­ли­чит­ся. Зна­чит, в оп­ти­маль­ном слу­чае a  =  1, по­сколь­ку иначе умень­шим a и b на a − 1. Тогда

При уве­ли­че­нии b вы­ра­же­ние 3b рас­тет ми­ни­мум на 3, а вы­ра­же­ние умень­шит­ся менее чем на 3, по­сколь­ку оно само не боль­ше трех. Зна­чит, самое боль­шое зна­че­ние будет при самом боль­шом воз­мож­ном b, то есть при b  =  997: при b  =  998, 999 пер­во­го хода сде­лать нель­зя. Итак, нужно взять числа 1 и 997, по­лу­чить из них 250 и 748, и по­лу­чить ответ:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)