Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа a и b, оба меньше 1000. Если 
и 
оба натуральные, то Аня делает ход — заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.
а) Может ли игра продолжаться ровно три хода?
б) Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?
в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел.
Заметим сразу, что сумма чисел не меняется, а разность уменьшается вдвое.
а) Из чисел 1 и 17 получатся последовательно 5 и 13, 7 и 11, 8 и 10. На этом игра остановится.
б) Если бы это было возможно, то разность между начальными числами за эти несколько ходов уменьшилась бы минимум
в) Пусть a < b. Следует найти максимум выражения
Если уменьшить a и b на одно и то же число, то числитель дроби не изменится, а знаменатель уменьшиться, следовательно, дробь увеличится. Значит, в оптимальном случае a = 1, поскольку иначе уменьшим a и b на a − 1. Тогда
При увеличении b выражение 3b растет минимум на 3, а выражение 
уменьшится менее чем на 3, поскольку оно само не больше трех. Значит, самое большое значение будет при самом большом возможном b, то есть при b = 997: при b = 998, 999 первого хода сделать нельзя. Итак, нужно взять числа 1 и 997, получить из них 250 и 748, и получить ответ:
Ответ: а) да; б) нет; в) 