а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой АС, про­хо­дит через точку В и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SD в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от точки D.

б)  Най­ди­те синус угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ASC, если угол SAC равен 30°.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Хорды АС и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Т. На хорде ВС от­ло­жен от­ре­зок СР, рав­ный AD. Точки Р и D рав­но­уда­ле­ны от хорды АС, а от­ре­зок ТР пер­пен­ди­ку­ля­рен хорде ВС.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков ABPD и APCD равны.

б)  Най­ди­те эти пло­ща­ди, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка ATD равна трем.

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 10 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­варь n-⁠го года после взя­тия кре­ди­та долг воз­рас­та­ет на 5(n − 1)% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

На какой ми­ни­маль­ный и мак­си­маль­ный срок сле­ду­ет взять кре­дит, чтобы наи­боль­ший го­до­вой пла­теж по кре­ди­ту не пре­вы­сил 3 млн руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

будет иметь ровно 8 ре­ше­ний.

Аня иг­ра­ет в игру: на доске на­пи­са­ны два раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа a и b, оба мень­ше 1000. Если и оба на­ту­раль­ные, то Аня де­ла­ет ход  — за­ме­ня­ет этими двумя чис­ла­ми преды­ду­щие. Если хотя бы одно из этих чисел не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным, то игра пре­кра­ща­ет­ся.

а)  Может ли игра про­дол­жать­ся ровно три хода?

б)  Су­ще­ству­ет ли два на­чаль­ных числа таких, что игра будет про­дол­жать­ся не менее 9 ходов?

в)  Аня сде­ла­ла пер­вый ход в игре. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное от­но­ше­ние про­из­ве­де­ния по­лу­чен­ных двух чисел к про­из­ве­де­нию преды­ду­щих двух чисел.