Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость α параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро SD в отношении 2 : 1, считая от точки D.
б) Найдите синус угла между плоскостью α и плоскостью ASC, если угол SAC равен 30°.
а) Пусть K — середина высоты пирамиды SO. Прямая BK лежит в плоскости α и в плоскости SBD, содержащей высоту SO. Тогда точка L является точкой пересечения BK с SD и плоскости α и SD. По теореме Менелая для треугольника SDO и прямой BL имеем:
откуда
б) Проведем через точку K среднюю линию MN треугольника SAC. Прямая MN параллельна AC, следовательно, лежит в плоскости. Таким образом, MN — линия пересечения плоскости α и плоскости ASC. Очевидно, что треугольник BMN — равнобедренный, следовательно, отрезки BK и MN взаимно перпендикулярны. Прямые SO и AC перпендикулярны, следовательно, прямые SO и MN также взаимно перпендикулярны. Таким образом, угол BKO является линейным углом искомого угла между плоскостью α и плоскостью ASC. Обозначим высоту пирамиды SO = 2h. Тогда 
Далее находим,
Тогда
Ответ: б) 