Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 551192
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний |y| плюс |2x минус x в квад­ра­те | = 4, y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =a в квад­ра­те конец си­сте­мы .

будет иметь ровно 8 ре­ше­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t=2x минус x в квад­ра­те . За­ме­тим, что

левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \geqslant0 рав­но­силь­но минус x в квад­ра­те плюс 2x минус 1\leqslant0 рав­но­силь­но 2x минус x в квад­ра­те \leqslant1,

зна­чит, t\leqslant1. Каж­до­му зна­че­нию t мень­ше 1 со­от­вет­ству­ют два зна­че­ния пе­ре­мен­ной x, а зна­че­нию t=1  — одно зна­че­ние пе­ре­мен­ной x. Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид

си­сте­ма вы­ра­же­ний |y| плюс |t| = 4, y в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те =a в квад­ра­те ,t\leqslant1. конец си­сте­мы . левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

Вос­поль­зу­ем­ся графо-ана­ли­ти­че­ским ме­то­дом. В плос­ко­сти tOy гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы будет яв­лять­ся сто­ро­ны квад­ра­та с вер­ши­на­ми в точ­ках левая круг­лая скоб­ка 0; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка 0; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и левая круг­лая скоб­ка минус 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы будет яв­лять­ся окруж­ность (вы­рож­да­ю­ща­я­ся в точку при a=0) с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом r=|a|.

При |a| мень­ше 2 ко­рень из 2 си­сте­ма (⁎) не имеет ре­ше­ний, а зна­чит, и ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

При |a|=2 ко­рень из 2 си­сте­ма (⁎) имеет два ре­ше­ния (вы­де­ле­но крас­ным), причём для обоих ре­ше­ний t мень­ше 1, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

При 2 ко­рень из 2 мень­ше |a| мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та си­сте­ма (⁎) имеет че­ты­ре ре­ше­ния (вы­де­ле­но зелёным), причём для всех ре­ше­ний t мень­ше 1, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет во­семь ре­ше­ний.

При |a|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та си­сте­ма (⁎) имеет шесть ре­ше­ний (вы­де­ле­но оран­же­вым), для четырёх из ко­то­рых t мень­ше 1, а для двух t=1, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет де­сять ре­ше­ний.

При ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше |a| мень­ше 4 си­сте­ма (⁎) имеет шесть ре­ше­ний, причём для всех ре­ше­ний t мень­ше 1, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет две­на­дцать ре­ше­ний.

При |a|=4 си­сте­ма (⁎) имеет три ре­ше­ния (вы­де­ле­но не­бес­но-го­лу­бым), причём для всех ре­ше­ний t мень­ше 1, зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет шесть ре­ше­ний.

При |a| боль­ше 4 си­сте­ма (⁎) не имеет ре­ше­ний, а зна­чит и ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно во­семь ре­ше­ний, если минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та мень­ше a мень­ше минус 2 ко­рень из 2 или 2 ко­рень из 2 мень­ше a мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; минус 2 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из 2 ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 324. (часть C)
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Урав­не­ние окруж­но­сти
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025