Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.
а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.
б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.
а) Проведем 
— перпендикуляр из точки P к хорде AC и DH2 — перпендикуляр из точки D к прямой AC. По условию AD = PC, DH2 = PH1, следовательно, треугольники ADH2 и СPH1 равны. Тогда углы DAT и PCT равны. Таким образом, прямые AD и BC параллельны, а четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Следовательно, треугольник BTC равнобедренный, поэтому TP — его медиана, а значит, BP = PC. Площади четырехугольников ABPD и APCD равны, так как это равные параллелограммы. Что и требовалось доказать.
б) Из отношения 
получим, что треугольники BTC и ATD подобны с коэффициентом 2 : 1, значит,
Таким образом, SBTC = 12.
Из подобия следует, что 
Из отношения 
найдем, что 
Вычислим площадь трапеции ABCD:
Заметим теперь, что 
где h — высота трапеции. Поскольку
находим: 
Ответ: б)
Здравствуйте! Простите, но по-моему в решение закралась ошибка. Отношение площадей треугольников ATD и ATB не равно отношению их сторон, т.к. такое отношение имеет место быть только если у треугольников есть общее основание (и тогда их площади относятся, как высоты, проведённые к этому основанию) или если треугольники имеют общую высоту (тогда их площади относятся, как основания, к которым проведена эта высота). Ничего подобного в ходе решения получено не было, чтобы говорить о таком отношении.
К тому же, на мой взгляд, в нахождении площади трапеции ABCD для решения нет нужды. Ведь ADCP и ADBP - это параллелограмы (AD//BC и равно ему), а, следовательно, их площадь равна произведению PH3 (где точка H3 - продолжение высоты PH2 до пересечения с основанием AD) на AD, т.е. S(adcp)=PH3*AD, а площадь треугольника ADT=3=0,5*TH3*AD,
но, т.к. треугольники ADT и BCP подобны, то их высоты относятся, как стороны, то есть, как 1:2, а, следовательно, PH3=3TH3.
Имеем: S(adcp)=PH3*AD=3TH3*AD, S(adt)=0,5*TH3*AD=3. Из последнего уравнения находим, что TH3*AD=6, и, подставив его в первое, находим, что площадь ADCP=3*6=18
Здравствуйте, Екатерина! Спасибо, поправили решение. Там в конце закралась арифметическая ошибка. Что касается Вашего замечания, то у треугольников ADT и ATB, действительно, общая высота, проведенная из вершины А, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований DT и TB.