РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 552510 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 328. (часть C)

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Показательные уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Другие уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4= корень из: начало аргумента: минус x конец аргумента в квадрате минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс x в квадрате плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 ; логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  На области определения квадратного корня справедливо равенство $корень из: начало аргумента: a конец аргумента в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = a.$ Поэтому при условии

$минус x в квадрате минус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant0 равносильно 2x в квадрате плюс x минус 1\leqslant0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка * правая круглая скобка$

правая часть уравнения равна 3. Получаем:

$3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени x плюс 4=3 равносильно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени x плюс 1=0 равносильно совокупность выражений 3 в степени x = дробь: числитель: 2 минус 1, знаменатель: 3 конец дроби ,3 в степени x = дробь: числитель: 2 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 в степени x =1,3 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 1. конец совокупности .$ $3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени x плюс 4=3 равносильно 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 4 умножить на 3 в степени x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 в степени x = дробь: числитель: 2 минус 1, знаменатель: 3 конец дроби ,3 в степени x = дробь: числитель: 2 плюс 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 в степени x =1,3 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 1. конец совокупности .$

Оба корня удовлетворяют условию (⁎). Итак, x  =  0, x  =  −1.

б)  Заметим, что $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше 1,$ следовательно, $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше минус 1 меньше логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше 0.$ На отрезке $левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 6 ; логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 правая квадратная скобка$ лежит число −1.

Ответ: а) $левая фигурная скобка 0; минус 1 правая фигурная скобка ;$ б) −1.

Примечание.

Заметим, что запись $корень из: начало аргумента: a конец аргумента в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$ эквивалентна записи $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: a конец аргумента правая круглая скобка в квадрате .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2