а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SАВСD лежит па­рал­ле­ло­грамм АВСD c цен­тром О. Точка N  — се­ре­ди­на ребра SC, точка L  — се­ре­ди­на ребра SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BNL делит ребро SD в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BNL и АВС, если пи­ра­ми­да пра­виль­ная, SA  =  8, а тан­генс угла между бо­ко­вым реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в точке O впи­са­на тра­пе­ция ABCD. Ос­но­ва­ние тра­пе­ции AD  яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пе­ре­се­ка­ет диа­метр AD в точке Р такой, что AP : PD  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что точка Р  — cере­ди­на от­рез­ка АО.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BPE.

В на­ча­ле ме­ся­ца Артем взял в банке кре­дит 2,4 млн руб­лей с ме­сяч­ной про­цент­ной став­кой 5% на 12 ме­ся­цев с по­га­ше­ни­ем кре­ди­та по сле­ду­ю­щей схеме:

—  в на­ча­ле каж­до­го ме­ся­ца банк уве­ли­чи­ва­ет долг на 5%;

—  вы­пла­ты про­из­во­дят­ся в конце каж­до­го ме­ся­ца;

—  каж­дая сле­ду­ю­щая вы­пла­та на 5% боль­ше преды­ду­щей.

Сколь­ко руб­лей долж­на со­став­лять пер­вая вы­пла­та, чтобы Артем по­га­сил свой кре­дит по ука­зан­ной схеме за 12 ме­ся­цев?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го числа х.

Для по­лу­че­ния член­ства в одном пре­стиж­ном клубе про­во­дит­ся отбор. Каж­дый из пре­тен­ден­тов вно­сит залог, ко­то­рый яв­ля­ет­ся целым не­от­ри­ца­тель­ным чис­лом тысяч. Сумма за­ло­га в 150 тысяч га­ран­ти­ру­ет по­лу­че­ние член­ства. После окон­ча­ния сро­ков при­е­ма за­ло­га с целью уве­ли­че­ния чис­лен­но­сти клуба ру­ко­вод­ство при­ня­ло ре­ше­ние до­ба­вить к сумме за­ло­га каж­до­го из пре­тен­ден­тов 10 тысяч.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого по­ни­зит­ся сред­няя сумма за­ло­га у тех, кто не до­стиг до­ста­точ­ной суммы?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что после этого по­ни­зит­ся сред­няя сумма за­ло­га у тех, кто до­стиг до­ста­точ­ной суммы, и тех, кто не до­стиг до­ста­точ­ной суммы?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя сумма за­ло­га всех участ­ни­ков со­ста­ви­ла 130 тысяч руб­лей, сред­няя сумма тех, кто сдал до­ста­точ­ную сумму, со­ста­ви­ла 160 тысяч руб­лей, а у тех, кто не сдал до­ста­точ­ной суммы, она со­ста­ви­ла 125 тысяч. После до­бав­ле­ния 10 тысяч сред­няя сумма за­ло­га среди тех, кто до­стиг до­ста­точ­ной

суммы, со­ста­ви­ла 155 тысяч, а сред­няя сумма за­ло­га у тех, кто не до­стиг до­ста­точ­ной суммы, со­ста­ви­ла 120 тысяч. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков воз­мож­на такая си­ту­а­ция?