В окружность радиуса 
с центром в точке O вписана трапеция ABCD. Основание трапеции AD является диаметром окружности, угол BAD равен 60°. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3.
а) Докажите, что точка Р — cередина отрезка АО.
б) Найдите площадь треугольника BPE.
а) Отрезки AP и PD относятся как 1 к 3. Следовательно, отрезки AP и AD относятся как
б) Заметим, что треугольник ABO равнобедренный с углом 
то есть он является равносторонним. Из пункта а) следует, что точка P — середина отрезка AO, поэтому отрезок BP — высота треугольника ABO. Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABP:
Заметим, что 
тогда по теореме Пифагора для треугольника PBC:
откуда 
Воспользуемся свойством пропорциональных отрезков в круге:
Отсюда 
Поэтому
Ответ: б) 