РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 553833 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C)

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Первичная информация разделяется по серверам 1 и 2 и обрабатывается на них. С сервера 1 при объёме t² Гбайт входящей в него информации выходит 30t Гбайт, а с сервера 2 при объёме t² Гбайт входящей в него информации выходит 36t Гбайт обработанной информации при условии, что $15 меньше или равно t\leqslant65.$ Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3904 Гбайт?

Решение. Пусть на сервер № 1 будет поступать $x в квадрате$ гигабайт информации, на сервер № 2  — $y в квадрате$ гигабайт информации, и пусть S  — общий объём выходящей информации в гигабайтах. Тогда

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =3904,S=30x плюс 36y. конец системы .$

Выразим из первого уравнения системы y и подставим его во второе уравнение. Получаем

$S левая круглая скобка x правая круглая скобка =30x плюс 36 корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента ,$

где $15 меньше или равно x меньше или равно 65.$ Найдем наибольшее значение S при помощи производной. Получаем:

$S' левая круглая скобка x правая круглая скобка =30 плюс дробь: числитель: 36 умножить на левая круглая скобка минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =6 умножить на левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 6x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби правая круглая скобка .$ $S' левая круглая скобка x правая круглая скобка =30 плюс дробь: числитель: 36 умножить на левая круглая скобка минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$=6 умножить на левая круглая скобка 5 минус дробь: числитель: 6x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби правая круглая скобка .$

Найдём критические точки:

$S' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 равносильно 5 минус дробь: числитель: 6x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 5 корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента =6x \undersetx больше 0\mathop равносильно 25 умножить на 3904 минус 25x в квадрате =36x в квадрате равносильно$ $S' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 равносильно 5 минус дробь: числитель: 6x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 5 корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента =6x \undersetx больше 0\mathop равносильно$
$\undersetx больше 0\mathop равносильно 25 умножить на 3904 минус 25x в квадрате =36x в квадрате равносильно$ $S' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 5 минус дробь: числитель: 6x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента конец дроби =0 равносильно$
$равносильно 5 корень из: начало аргумента: 3904 минус x в квадрате конец аргумента =6x \undersetx больше 0\mathop равносильно$
$\undersetx больше 0\mathop равносильно 25 умножить на 3904 минус 25x в квадрате =36x в квадрате равносильно$

$равносильно 25 умножить на 3904=61x в квадрате равносильно 25 умножить на 64=x в квадрате \undersetx больше 0\mathop равносильно x=40.$ $равносильно 25 умножить на 3904=61x в квадрате равносильно$
$равносильно 25 умножить на 64=x в квадрате \undersetx больше 0\mathop равносильно x=40.$

Заметим, что $S' левая круглая скобка 20 правая круглая скобка больше 0,$ а $S' левая круглая скобка 60 правая круглая скобка меньше 0,$ значит, $x=40$   — точка максимума, и именно в ней достигается наибольшее значение функции S(x). Вычислим его:

$S левая круглая скобка 40 правая круглая скобка = 30 умножить на 40 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 3904 минус 40 в квадрате конец аргумента = 1200 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 2304 конец аргумента =$
$=1200 плюс 36 умножить на 48=1200 плюс 1728=2928.$ $S левая круглая скобка 40 правая круглая скобка = 30 умножить на 40 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 3904 минус 40 в квадрате конец аргумента =$
$= 1200 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 2304 конец аргумента =$
$=1200 плюс 36 умножить на 48=1200 плюс 1728=2928.$ $S левая круглая скобка 40 правая круглая скобка = 30 умножить на 40 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 3904 минус 40 в квадрате конец аргумента =$
$= 1200 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 2304 конец аргумента =1200 плюс 36 умножить на 48=$
$=1200 плюс 1728=2928.$ $S левая круглая скобка 40 правая круглая скобка = 30 умножить на 40 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 3904 минус 40 в квадрате конец аргумента =$
$= 1200 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 2304 конец аргумента =$
$=1200 плюс 36 умножить на 48=$
$=1200 плюс 1728=2928.$ $S левая круглая скобка 40 правая круглая скобка =$
$= 30 умножить на 40 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 3904 минус 40 в квадрате конец аргумента =$
$= 1200 плюс 36 умножить на корень из: начало аргумента: 2304 конец аргумента =$
$=1200 плюс 36 умножить на 48=$
$=1200 плюс 1728=2928.$

Ответ: 2928 Гбайт.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 2928 Гбайт.

553833

2928 Гбайт.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 331. (часть C)

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	553833	2928 Гбайт.