а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Точка M се­ре­ди­на ребра AB пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра DABC.

а)  До­ка­жи­те, что ор­то­го­наль­ная про­ек­ция точки M на плос­кость ACD лежит на ме­ди­а­не AP грани ACD.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой DM и плос­ко­стью ACD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC AB  =  3, Хорда KN окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AC и BC в точ­ках M и L со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABLM равна 2, LM  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KNC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KNC.

Пер­вич­ная ин­фор­ма­ция раз­де­ля­ет­ся по сер­ве­рам 1 и 2 и об­ра­ба­ты­ва­ет­ся на них. С сер­ве­ра 1 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 30t Гбайт, а с сер­ве­ра 2 при объёме t² Гбайт вхо­дя­щей в него ин­фор­ма­ции вы­хо­дит 36t Гбайт об­ра­бо­тан­ной ин­фор­ма­ции при усло­вии, что Каков наи­боль­ший общий объём вы­хо­дя­щей ин­фор­ма­ции при общем объёме вхо­дя­щей ин­фор­ма­ции в 3904 Гбайт?

Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние па­ра­мет­ра а, при ко­то­ром урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре корня.

На пси­хо­ло­ги­че­ский тре­нинг при­шли m че­ло­век. В на­ча­ле ра­бо­ты пси­хо­лог по­про­сил каж­до­го при­шед­ше­го на­пи­сать за­пис­ку с во­про­сом к лю­бо­му од­но­му из дру­гих участ­ни­ков. После этого в груп­пу А были ото­бра­ны те, кто по­лу­чил не более 1 во­про­са.

а)  Какое наи­боль­шее число участ­ни­ков могло ока­зать­ся в груп­пе А, если m  =  100?

б)  Какое наи­мень­шее число участ­ни­ков могло ока­зать­ся в груп­пе А, если m  =  144?

в)  Какое наи­мень­шее число участ­ни­ков могло ока­зать­ся в груп­пе А, если m  =  97, а в груп­пу А вошли те, кто не по­лу­чил ни од­но­го во­про­са, и по­ло­ви­на тех, кто по­лу­чил ровно один во­прос? (Если ровно один во­прос по­лу­чи­ло не­чет­ное число че­ло­век, то бе­рет­ся наи­боль­шее число, не пре­вос­хо­дя­щее по­ло­ви­ну.)