Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 553829
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус 3x умно­жить на ко­си­нус 4x=1.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

синус 3x умно­жить на ко­си­нус 4x=1 рав­но­силь­но синус 7x минус синус x=2.

За­ме­тим, что | синус x|\leqslant1 и | синус 7x|\leqslant1. По­это­му по­след­нее ра­вен­ство может до­сти­гать­ся толь­ко в слу­чае, если синус 7x=1, а синус x= минус 1. Решим си­сте­му урав­не­ний:

си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x= минус 1, синус 7x=1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,7x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец си­сте­мы . k,n при­над­ле­жит Z .

При­рав­ня­ем най­ден­ные зна­че­ния х, решая урав­не­ние минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , по­лу­чим n = 7 k минус 2. Сле­до­ва­тель­но,

x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи левая круг­лая скоб­ка 7k минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни, решая двой­ное не­ра­вен­ство:

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но минус 1 мень­ше минус 1 плюс 4k\leqslant7 рав­но­силь­но 0 мень­ше 4k\leqslant8 \undersetk при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k=1,k=2. конец со­во­куп­но­сти .

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что на за­дан­ном про­ме­жут­ке лежат корни дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 331. (часть C)
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы для про­из­ве­де­ния функ­ций
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025