Тип 19 № 555271 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На асфальте мелом написали в ряд 333 цифры 3 и расставили между некоторыми из них знаки «плюс» и «минус».
А) Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?
Б) У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое, и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?
В) Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте б).
Решение. а) Да. Например, 
(пара +3 − 3 повторяется 165 раз).
б) Полученное выражение будет не больше чем 333..., поэтому его сумма цифр не превосходит 3 · 333 = 999. Значит, выражение будет не более чем трехзначным и его сумма цифр будет не более чем 27. После третьего раза сумма цифр только уменьшится и не сможет стать 33.
в) После двух действий, как уже доказано, сумма может стать максимум 27. Значит, ее сумма цифр может стать максимум 10 (для числа 19), а затем станет однозначной и навсегда ей останется, перестав меняться.
Кроме того, полученное изначально выражение будет кратно трем, поэтому и его сумма цифр тоже, значит, и ее сумма цифр тоже и так далее. Шансы есть только у чисел 0, 3, 6, 9.
В пункте а) построен пример получения числа 333, которое дает 9.
Получить 0 можно следующим образом: 
Кроме того, 
и оно дает 3.
Наконец, 
дает 15, из которого получается 6.
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 3, 6, 9.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 3, 6, 9.
555271
а) да; б) нет; в) 0, 3, 6, 9.
PDF-версии: