а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD (S  — вер­ши­на, BD  — диа­го­наль ос­но­ва­ния) об­ра­зу­ет угол 45° c плос­ко­стью ос­но­ва­ния, сто­ро­на ко­то­ро­го равна 4. Через сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка ABD, не пе­ре­се­ка­ю­щую BD и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ве­де­на плос­кость α.

а)   По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α и до­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC.

б)   Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SKLM, где K, L и M точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α со­от­вет­ствен­но с реб­ра­ми SB, SD и SC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Три точки А, В и С раз­би­ва­ют окруж­ность на три дуги. Каж­дая из дуг раз­би­ва­ет­ся на три рав­ные части так, что на окруж­но­сти по­сле­до­ва­тель­но стоят точки А, А₁, А₂, В, В₁, В₂, С, С₁, С₂.

А)   До­ка­жи­те, что точки пе­ре­се­че­ния пря­мых А₁В₂, В₁С₂ и С₁А₂ об­ра­зу­ют рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

Б)  Най­ди­те сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, если АС  =  1, ВС  =  2,

В 33‐ем году нашей эры в Иеру­са­лим­ском банке был от­крыт вклад на 33 се­реб­рен­ни­ка под 10% ве­ко­вых. В пятом веке сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов из‐за не­ста­биль­ной по­ли­ти­че­ской об­ста­нов­ки Иеру­са­лим­ский банк вво­дит еже­год­ную по­шли­ну на хра­не­ние лю­бо­го вкла­да, за­фик­си­ро­вав раз­мер по­шли­ны как 0,1% от ве­ли­чи­ны вкла­да на мо­мент вве­де­ния по­шли­ны. В 15 веке сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов за вы­че­том по­шли­ны из‐за де­валь­ва­ции (обес­це­ни­ва­ния) се­реб­рен­ни­ка по­шли­ну от­ме­ни­ли, а вклад кон­вер­ти­ро­ва­ли (пе­ре­ве­ли) в зо­ло­то по став­ке 10 се­реб­рен­ни­ков за один зо­ло­той, округ­лив по­лу­чив­ше­е­ся число зо­ло­тых до бли­жай­ше­го це­ло­го. Про­цент­ную став­ку для зо­ло­тых по­вы­си­ли до 20% ве­ко­вых, од­на­ко пер­вое на­чис­ле­ние со­сто­я­лось толь­ко век спу­стя после кон­вер­та­ции (пе­ре­во­да). Сколь­ко зо­ло­тых уда­лось снять со счёта при его за­кры­тии из‐за Пер­вой Ми­ро­вой войны 1914−1918 годов 20 века?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три ре­ше­ния.

На ас­фаль­те мелом на­пи­са­ли в ряд 333 цифры 3 и рас­ста­ви­ли между не­ко­то­ры­ми из них знаки «плюс» и «минус».

А)  Может ли зна­че­ние по­лу­чен­но­го чис­ло­во­го вы­ра­же­ния рав­нять­ся 333?

Б)  У зна­че­ния по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния сло­жи­ли все цифры, затем с по­лу­чен­ным зна­че­ни­ем сде­ла­ли то же самое, и так 3 раза. Могло ли в итоге по­лу­чить­ся число 33?

В)  Най­ди­те все числа, ко­то­рые могли по­лу­чить­ся после 33‐х пе­ре­хо­дов, опи­сан­ных в пунк­те б).