Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 555271

На асфальте мелом написали в ряд 333 цифры 3 и расставили между некоторыми из них знаки «плюс» и «минус».

А) Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?

Б)  У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?

В) Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте б).

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например, 333 плюс 3 минус 3 плюс 3 минус 3\ldots плюс 3 минус 3 (пара +3 − 3 повторяется 165 раз).

б) Полученное выражение будет не больше чем 333..., поэтому его сумма цифр не превосходит 3 · 333 = 999. Значит, выражение будет не более чем трехзначным и его сумма цифр будет не более чем 27. После третьего раза сумма цифр только уменьшится и не сможет стать 33.

в) После двух действий, как уже доказано, сумма может стать максимум 27. Значит, ее сумма цифр может стать максимум 10 (для числа 19), а затем станет однозначной и навсегда ей останется, перестав меняться.

Кроме того, полученное изначально выражение будет кратно трем, поэтому и его сумма цифр тоже, значит, и ее сумма цифр тоже и так далее. Шансы есть только у чисел 0, 3, 6, 9.

В пункте а) построен пример получения числа 333, которое дает 9.

Получить 0 можно следующим образом: 33 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 минус 3 плюс 3 минус 3 плюс 3 минус 3 плюс \ldots плюс 3 минус 3=0.

Кроме того, 3 плюс 3 минус 3 плюс 3 минус 3 плюс \ldots плюс 3 минус 3=3 и оно дает 3.

Наконец, 33333 плюс 3 минус 3 плюс 3 минус 3 плюс \ldots плюс 3 минус 3=33333 дает 15, из которого получается 6.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 0, 3, 6, 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 333. (часть C).