Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, можно по­смот­реть в пер­вый день ро­ли­ки дли­ной 15 + 14 + 1 мин., потом 13 + 12 + 5 мин., потом 11 + 10 + 9 мин., потом 8 + 7 + 6 + 4 + 3 + 2 мин.

б)  Сум­мар­ная длина всех ро­ли­ков равна 1 + 2 + ... + 10  =  55 мин., что не де­лит­ся на 30.

в)  Ясно, что при k ≥ 31 есть ролик дли­ной 31 ми­ну­ту, ко­то­рый по­смот­реть нель­зя. Кроме того, сум­мар­ная длина всех ро­ли­ков, рав­ная долж­на быть крат­на 30, то есть k или k + 1 долж­ны быть крат­ны 5. Пе­ре­бе­рем ва­ри­ан­ты:

k  =  4, сум­мар­ная длина 10;

k  =  5, сум­мар­ная длина 15;

k  =  9, сум­мар­ная длина 45;

k  =  10, сум­мар­ная длина 55;

k  =  14, сум­мар­ная длина 105;

k  =  15, сум­мар­ная длина 120, этот слу­чай разо­бран в пунк­те а);

k  =  19, сум­мар­ная длина 190;

k  =  20, сум­мар­ная длина 210. Это воз­мож­но, раз­би­вая ро­ли­ки, на­при­мер так:

k  =  24, сум­мар­ная длина 300, это воз­мож­но, если раз­би­вать ро­ли­ки, на­при­мер, так:

k  =  25, сум­мар­ная длина 325;

k  =  29, сум­мар­ная длина 29 · 15;

k  =  30, сум­мар­ная длина 31 · 15.

Итак, это воз­мож­но при k  =  15, 20, 24.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  k  =  15, 20, 24.