а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 6, точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AS.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BMD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BMD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В каж­дый угол рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB  =  10, AC  =  BC  =  13, впи­са­на окруж­ность еди­нич­но­го ра­ди­у­са, точки О₁, О₂ и О₃ цен­тры этих окруж­но­стей. Най­ди­те:

а)  ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC;

б)  пло­щадь тре­уголь­ни­ка О₁, О₂, О₃.

Ма­ри­на и На­деж­да от­кры­ли вкла­ды оди­на­ко­во­го раз­ме­ра в одном из бан­ков на че­ты­ре года. Еже­год­но в те­че­ние пер­вых трёх лет банк уве­ли­чи­вал каж­дый вклад на 10%, а в конце четвёртого года на 12% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года. Кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов Ма­ри­на еже­год­но по­пол­ня­ла вклад на x руб­лей, где x  — на­ту­раль­ное число. На­деж­да по­пол­ня­ла свой вклад толь­ко в на­ча­ле тре­тье­го года, но на сумму 2x руб­лей. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние x, при ко­то­ром через че­ты­ре года на счету На­деж­ды стало на целое число де­сят­ков руб­лей боль­ше, чем у Ма­ри­ны.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет ровно одно ре­ше­ние.

На сайте вы­ло­же­но k ви­део­уро­ков по ма­те­ма­ти­ке про­дол­жи­тель­но­стью ровно 1 мин., 2 мин., 3 мин., …, k мин. Вик­тор хочет за не­сколь­ко дней по­смот­реть их все ровно по од­но­му разу, за­тра­чи­вая на это ровно пол­ча­са каж­дый день. (Смот­реть ви­део­уро­ки можно в любом по­ряд­ке, но обя­за­тель­но пол­но­стью).

а)  Воз­мож­но ли это при k  =  15?

б)  Воз­мож­но ли это при k  =  10?

в)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные k, при ко­то­рых это воз­мож­но.