На сайте выложено k видеоуроков по математике продолжительностью ровно 1 мин., 2 мин., 3 мин., …, k мин. Виктор хочет за несколько дней посмотреть их все ровно по одному разу, затрачивая на это ровно полчаса каждый день. (Смотреть видеоуроки можно в любом порядке, но обязательно полностью).
а) Возможно ли это при k = 15?
б) Возможно ли это при k = 10?
в) Найдите все натуральные k, при которых это возможно.
а) Да, например, можно посмотреть в первый день ролики длиной 15 + 14 + 1 мин., потом 13 + 12 + 5 мин., потом 11 + 10 + 9 мин., потом 8 + 7 + 6 + 4 + 3 + 2 мин.
б) Суммарная длина всех роликов равна 1 + 2 + ... + 10 = 55 мин., что не делится на 30.
в) Ясно, что при k ≥ 31 есть ролик длиной 31 минуту, который посмотреть нельзя. Кроме того, суммарная длина всех роликов, равная 
должна быть кратна 30, то есть k или k + 1 должны быть кратны 5. Переберем варианты:
k = 4, суммарная длина 10;
k = 5, суммарная длина 15;
k = 9, суммарная длина 45;
k = 10, суммарная длина 55;
k = 14, суммарная длина 105;
k = 15, суммарная длина 120, этот случай разобран в пункте а);
k = 19, суммарная длина 190;
k = 20, суммарная длина 210. Это возможно, разбивая ролики, например так:
20 + 10, 19 + 11, 18 + 12, 17 + 13, 16 + 14, 15 + 9 + 6, 8 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1;
k = 24, суммарная длина 300, это возможно, если разбивать ролики, например, так:
24 + 6, 23 + 7, …, 16 + 14, 15 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1;
k = 25, суммарная длина 325;
k = 29, суммарная длина 29 · 15;
k = 30, суммарная длина 31 · 15.
Итак, это возможно при k = 15, 20, 24.
Ответ: а) да; б) нет; в) k = 15, 20, 24.