ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 558932 Добавить в вариант

Марина и Надежда открыли вклады одинакового размера в одном из банков на четыре года. Ежегодно в течение первых трёх лет банк увеличивал каждый вклад на 10%, а в конце четвёртого года на 12% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов Марина ежегодно пополняла вклад на x рублей, где x  — натуральное число. Надежда пополняла свой вклад только в начале третьего года, но на сумму 2x рублей. Найдите наименьшее значение x, при котором через четыре года на счету Надежды стало на целое число десятков рублей больше, чем у Марины.

Спрятать решение

Решение.

Пусть первоначальная сумма вклада равна S руб. Заполним таблицу.

Номер года	Марина		Надежда
Номер года	Вложение в начале года, руб.	Сумма с учётом процентов в конце года, руб.	Вложение в начале года, руб.	Сумма с учётом процентов в конце года, руб.
1	S	$1,1S$	S	$1,1S$
2		$1,1 в квадрате S$		$1,1 в квадрате S$
3	$плюс x$	$1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс x правая круглая скобка$	$плюс 2x$	$1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс 2x правая круглая скобка$
4	$плюс x$	$1,12 левая круглая скобка 1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс x правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка$		$1,12 умножить на 1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс 2x правая круглая скобка$

Найдем разность сумм на счетах в конце четвёртого года:

$1,12 умножить на 1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс 2x правая круглая скобка минус 1,12 левая круглая скобка 1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс x правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =$
$= 1,12 левая круглая скобка 1,1 в кубе S плюс 2,2x минус 1,1 в кубе S минус 2,1x правая круглая скобка =1,12 умножить на 0,1x=0,112x.$ $1,12 умножить на 1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс 2x правая круглая скобка минус 1,12 левая круглая скобка 1,1 левая круглая скобка 1,1 в квадрате S плюс x правая круглая скобка плюс x правая круглая скобка =$
$= 1,12 левая круглая скобка 1,1 в кубе S плюс 2,2x минус 1,1 в кубе S минус 2,1x правая круглая скобка =$
$=1,12 умножить на 0,1x=0,112x.$

По условию задачи эта разность должна составлять натуральное число десятков рублей, то есть $10n$  руб., где $n принадлежит N .$ Следовательно, должно быть справедливо равенство

$0,112x=10n равносильно x= дробь: числитель: 10n умножить на 1000, знаменатель: 112 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 5n умножить на 125, знаменатель: 7 конец дроби .$

Наименьшее натуральное значение x достигается при наименьшем n, кратном 7, то есть при n  =  7. Тогда

$x= дробь: числитель: 5 умножить на 7 умножить на 125, знаменатель: 7 конец дроби =625.$

Ответ: 625.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 339

Классификатор алгебры: Банки, вклады, кредиты, Задачи о вкладах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь