РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 560434 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 344

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение систем

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение. Преобразуем систему:

$система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7x плюс 4y минус 11 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс y минус 3 правая круглая скобка плюс 1, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс x плюс y плюс a=7 конец системы . равносильно система выражений 7x плюс 4y минус 11=3 левая круглая скобка 2x плюс y минус 3 правая круглая скобка ,2x плюс y минус 3 больше 0, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс x плюс y плюс a=7 конец системы . равносильно$ $система выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7x плюс 4y минус 11 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс y минус 3 правая круглая скобка плюс 1, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс x плюс y плюс a=7 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 7x плюс 4y минус 11=3 левая круглая скобка 2x плюс y минус 3 правая круглая скобка ,2x плюс y минус 3 больше 0, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс x плюс y плюс a=7 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x плюс y=2,4 минус y минус 3 больше 0, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс 2 плюс a=7 конец системы . равносильно система выражений x=2 минус y,y меньше 1, левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате =5 минус a конец системы .$

Для того чтобы система имела ровно два решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение $левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате =5 минус a$ имело два различных корня, больший из которых меньше 1. Найдём эти корни:

$левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка в квадрате =5 минус a равносильно y плюс a=\pm корень из: начало аргумента: 5 минус a конец аргумента равносильно y= минус a\pm корень из: начало аргумента: 5 минус a конец аргумента .$

Корни различны при $a меньше 5.$ Найдём значения параметра, при которых больший из корней меньше 1:

$система выражений минус a плюс корень из: начало аргумента: 5 минус a конец аргумента меньше 1,a меньше 5 конец системы . равносильно система выражений корень из: начало аргумента: 5 минус a конец аргумента меньше 1 плюс a ,a меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5 минус a меньше a в квадрате плюс 2a плюс 1,1 плюс a больше 0,a меньше 5 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате плюс 3a минус 4 больше 0, минус 1 меньше a меньше 5 конец системы . равносильно 1 меньше a меньше 5.$ $система выражений минус a плюс корень из: начало аргумента: 5 минус a конец аргумента меньше 1,a меньше 5 конец системы . равносильно система выражений корень из: начало аргумента: 5 минус a конец аргумента меньше 1 плюс a ,a меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 5 минус a меньше a в квадрате плюс 2a плюс 1,1 плюс a больше 0,a меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a в квадрате плюс 3a минус 4 больше 0, минус 1 меньше a меньше 5 конец системы . равносильно 1 меньше a меньше 5.$

Итак, исходная система имеет ровно два решения при $1 меньше a меньше 5.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 5 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $левая круглая скобка 1; 5 правая круглая скобка .$

560434

$левая круглая скобка 1; 5 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 344

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	560434	$левая круглая скобка 1; 5 правая круглая скобка .$