Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 560434
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 7x плюс 4y минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс x плюс y плюс a=7 конец си­сте­мы .

имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 7x плюс 4y минус 11 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1, левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс x плюс y плюс a=7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 7x плюс 4y минус 11=3 левая круг­лая скоб­ка 2x плюс y минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,2x плюс y минус 3 боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс x плюс y плюс a=7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс y=2,4 минус y минус 3 боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 плюс a=7 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x=2 минус y,y мень­ше 1, левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =5 минус a конец си­сте­мы .

Для того чтобы си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =5 минус a имело два раз­лич­ных корня, боль­ший из ко­то­рых мень­ше 1. Найдём эти корни:

левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =5 минус a рав­но­силь­но y плюс a=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус a конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но y= минус a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус a конец ар­гу­мен­та .

Корни раз­лич­ны при a мень­ше 5. Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых боль­ший из кор­ней мень­ше 1:

си­сте­ма вы­ра­же­ний минус a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус a конец ар­гу­мен­та мень­ше 1,a мень­ше 5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус a конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 плюс a ,a мень­ше 5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 5 минус a мень­ше a в квад­ра­те плюс 2a плюс 1,1 плюс a боль­ше 0,a мень­ше 5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те плюс 3a минус 4 боль­ше 0, минус 1 мень­ше a мень­ше 5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 1 мень­ше a мень­ше 5.

Итак, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при 1 мень­ше a мень­ше 5.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 1; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 344
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025