РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 561193 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 347

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Другие уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 16 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус x правая круглая скобка плюс 8, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 3 косинус x правая круглая скобка конец дроби =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  При условии $косинус x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ и $косинус x не равно 0$ исходное уравнение сводится к квадратному относительно показательной функции:

$16 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 3 умножить на 4 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус x правая круглая скобка плюс 8=0 равносильно левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 6 умножить на 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 8=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений 4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2,4 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Условию равносильности удовлетворяет только серия $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходит только $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561193

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$