РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 561196 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 347

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Подобие

Планиметрическая задача. Описанные окружности и четырехугольники

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка F лежит на его стороне AD, причём прямые BF и CD параллельны, и прямые CF и AB параллельны.

а)  Докажите, что отрезки BF и CF разбивают четырёхугольник ABCD на три подобных треугольника.

б)  Известно, что AF  =  1, DF  =  4. Найдите BC.

Решение. а)  Пусть

$\angle ABF=\angle BFC=\angle FCD= альфа .$

Значит,

$\angle BCD плюс \angle BAF=\angle BCF плюс альфа плюс \angle BAF=180 градусов равносильно \angle BCF=180 градусов минус \angle BAF минус альфа =\angle BFA.$ $\angle BCD плюс \angle BAF=\angle BCF плюс альфа плюс \angle BAF=180 градусов равносильно$
$равносильно \angle BCF=180 градусов минус \angle BAF минус альфа =\angle BFA.$

Следовательно, треугольники BAF и FCB подобны по двум углам. Аналогично, треугольники FCB и CDF подобны по двум углам.

б)  Из п. а) имеем:

$дробь: числитель: AF, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: BF, знаменатель: CF конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: FD конец дроби равносильно BC в квадрате =AF умножить на FD равносильно BC в квадрате =4 равносильно BC=2.$

Ответ: б) 2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 2.

561196

б) 2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 347

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561196	б) 2.