Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что равны тре­уголь­ни­ки ABP и BMP (по двум сто­ро­нам и углу между ними). По­это­му AP  =  MP. Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки CMP и CDP, по­это­му DP  =  MP. Зна­чит, в тре­уголь­ни­ке AMD ме­ди­а­на MP равна по­ло­ви­не сто­ро­ны AD, по­это­му угол AMD  — пря­мой. Угол BMA равен угол CMD равен По­это­му угол Но од­но­вре­мен­но с этим он пря­мой. Таким об­ра­зом, и пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны.

б)  Пусть пря­мая BP пе­ре­се­ка­ет пря­мую AM в точке E, пря­мая CP пе­ре­се­ка­ет пря­мую MD в точке F. За­ме­тим, что BE  — бис­сек­три­са и вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABM, ана­ло­гич­но CF  — бис­сек­три­са и вы­со­та тре­уголь­ни­ка MCD, по­это­му по­лу­ча­ем, что EMFP  — пря­мо­уголь­ник.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BME и BCP, а потом и из по­до­бия тре­уголь­ни­ков CMF и CBP по­лу­ча­ем, что EM : PC  =  1 : 4, MF : PB  =  3 : 4.

По усло­вию, EM · MF  =  18, зна­чит,

Пло­щадь ABCD вдвое боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BPC, по­это­му она равна

Ответ: 96.