а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка P лежит на ребре AA₁, причём A₁P : PA  =  3 : 4, BB₁  =  14, AD  =  6. Плос­кость DPB₁ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке N, тан­генс угла между пря­мой  NP и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD равен

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник DPB₁N  — ромб.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPB₁N.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка M лежит на сто­ро­не BC вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, AB  =  BM, MC  =  CD. Бис­сек­три­сы углов ABC и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, ле­жа­щей на сто­ро­не AD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм или тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что BM : CM  =  1 : 3 и пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го пря­мы­ми AM, DM, BP и CP, равна 18.

В ян­ва­ре 2005 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Фан­та­зия» со­ста­ви­ла x% го­до­вых, а в ян­ва­ре 2006 года  — y% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y  =  30. В ян­ва­ре 2005 года вклад­чик от­крыл де­по­зит­ный счёт в банке «Фан­та­зия», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2006 года, по про­ше­ствии года со дня от­кры­тия счёта, вклад­чик снял со счёта пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние x, при ко­то­ром сумма на счёте вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2007 года яв­ля­ет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два корня.

Мно­же­ство чисел на­зо­вем «зна­чи­мым», если его можно раз­бить на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вой сум­мой чисел.

а)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {400; 401; 402; ... ; 519} зна­чи­мым?

б)  Яв­ля­ет­ся ли мно­же­ство {3²; 3³; 3⁴; ... ; 3²⁰⁰} зна­чи­мым?

в)  Сколь­ко зна­чи­мых че­ты­рех­эле­мент­ных под­мно­жеств у мно­же­ства {2; 3; 6; 5 ; 9; 13; 17}?