Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562254
i

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

x в сте­пе­ни 6 минус 6ax в сте­пе­ни 5 плюс 12a в квад­ра­те x в сте­пе­ни 4 минус 8a в кубе x в кубе минус 7x в квад­ра­те плюс 14ax минус 6=0

имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

x в сте­пе­ни 6 минус 6ax в сте­пе­ни 5 плюс 12a в квад­ра­те x в сте­пе­ни 4 минус 8a в кубе x в кубе минус 7x в квад­ра­те плюс 14ax минус 6=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2ax пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус 7 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2ax пра­вая круг­лая скоб­ка минус 6=0.

Пусть t=x в квад­ра­те минус 2ax, тогда

t в кубе минус 7t минус 6=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус t минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=3,t= минус 1,t= минус 2. конец со­во­куп­но­сти .

 

Функ­ция t=x в квад­ра­те минус 2ax  — квад­ра­тич­ная с по­ло­жи­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, она огра­ни­че­на снизу (гра­фик функ­ции  — па­ра­бо­ла с на­прав­лен­ны­ми вверх вет­вя­ми  — схе­ма­тич­но изоб­ра­жен на ри­сун­ке). Чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело ровно два корня, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы квад­рат­ное урав­не­ние x в квад­ра­те минус 2ax=3 имело два корня, а квад­рат­ное урав­не­ние x в квад­ра­те минус 2ax= минус 1 не имело кор­ней. То есть не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лась си­сте­ма не­ра­венств:

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на 1 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4a в квад­ра­те плюс 12 боль­ше 0,4a в квад­ра­те минус 4 мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше a мень­ше 1.

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 351
Классификатор алгебры: Урав­не­ния выс­ших сте­пе­ней, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025