РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 562254 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 351

Классификатор алгебры: Уравнения высших степеней, Уравнения с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$x в степени 6 минус 6ax в степени 5 плюс 12a в квадрате x в степени 4 минус 8a в кубе x в кубе минус 7x в квадрате плюс 14ax минус 6=0$

имеет ровно два корня.

Решение. Преобразуем уравнение:

$x в степени 6 минус 6ax в степени 5 плюс 12a в квадрате x в степени 4 минус 8a в кубе x в кубе минус 7x в квадрате плюс 14ax минус 6=0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax правая круглая скобка в кубе минус 7 левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax правая круглая скобка минус 6=0.$ $x в степени 6 минус 6ax в степени 5 плюс 12a в квадрате x в степени 4 минус 8a в кубе x в кубе минус 7x в квадрате плюс 14ax минус 6=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax правая круглая скобка в кубе минус 7 левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax правая круглая скобка минус 6=0.$

Пусть $t=x в квадрате минус 2ax,$ тогда

$t в кубе минус 7t минус 6=0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус t минус 6 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=3,t= минус 1,t= минус 2. конец совокупности .$ $t в кубе минус 7t минус 6=0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус t минус 6 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=3,t= минус 1,t= минус 2. конец совокупности .$

Функция $t=x в квадрате минус 2ax$   — квадратичная с положительным старшим коэффициентом, она ограничена снизу (график функции  — парабола с направленными вверх ветвями  — схематично изображен на рисунке). Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение $x в квадрате минус 2ax=3$ имело два корня, а квадратное уравнение $x в квадрате минус 2ax= минус 1$ не имело корней. То есть необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств:

$система выражений левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 1 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 4a в квадрате плюс 12 больше 0,4a в квадрате минус 4 меньше 0 конец системы . равносильно a в квадрате минус 1 меньше 0 равносильно минус 1 меньше a меньше 1.$ $система выражений левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 1 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 4a в квадрате плюс 12 больше 0,4a в квадрате минус 4 меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 1 меньше 0 равносильно минус 1 меньше a меньше 1.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$

562254

$левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 351

Классификатор алгебры: Уравнения высших степеней, Уравнения с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562254	$левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка .$